本文最后更新于:星期一, 四月 20日 2020, 6:02 晚上

数列的极限

定义:

设{Xn}是一个数列,如果存在一个常数a,使得对任给的ε>0,存在一个N,当n>N时不等式|Xn-a| < ε都成立则a为数列{Xn}的极限, 如果数列{Xn}极限存在,则数列{Xn}收敛,否则称其发散

几何意义:

|Xn-a| < ε ⇒ −ε<Xn−a<ε ⇒ a−ε < Xn < a+ε ⇒ Xnϵ∪(a,ε)
即N项之后,每项都在领域U(a,ε)内,有限项在领域U(a,ε)外

证明模板:对任意ε>0, 存在N>0, 使得n>N时,|Xn−a|< ε

收敛数列的性质:

Th1:(唯一性)

数列的极限如果存在必定唯一

Th2:(有界性)

收敛数列必定有界
例:有界数列不一定收敛(-1)n+1有界但不收敛

Th3:(保号性)

如果存在且a>0,则存在正整数N>0,当n>N时,都有Xn>0

Th4:(与子数列的关系)

如果数列{Xn}收敛于a,则它的任一子数列均收敛于a
可用于证明数列的极限不存在,分别取得数列的两不相等子数列,观察其极限是否相等,如果不相等则原数列极限不存在


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