本文最后更新于:星期一, 四月 20日 2020, 6:02 晚上

函数的极限

定义:

任给的ε>0,如果存在X>0,当x>X时,都有|f(x)−A|<ε,则称A为f(x)当x→∞的极限

函数极限的4个条件

y = A是函数f(x)的水平渐近线

一般情况

函数极限的4个条件

注:
定义中0<|x−x0|表示x≠x0, 讨论x→x0时,只考虑x≠x0,是否存在与f(x0)是否有定义、取什么值无关

左右极限:

x->x0+时f(x)的极限为右极限,反之x->x0-时f(x)的极限为左极限

对任给ε>0,如果存在σ>0,当x0 < x < x0+σ时,则称A为f(x)当x→x0时右极限
记做

Th1:(左右极限相等才有极限)

Th2:(函数极限的唯一性)

如果存在,则极限唯一

Th3:(局部有界性)

在x的去心邻域U(x0,σ)内有界

Th4:(保号性)

Th5:(函数极限与数列极限的关系)

如果存在{Xn}为f(x)定义域内任一收敛于X0的数列, 且满足Xn≠X0=

证明函数不收敛的另一种方法:找一个数列证明其和原函数极限不等

推论1:函数的保号性

如果在x0的某去心领域内f(x)>= 0(f(x)<=0)且则A≥0(A≤0)

推论2:函数的保序性

, 若A>B,则存在常数σ>0, 当0<|x−x0|<σ时,有f(x)>g(x)

证明:令H(x) = f(x) - g(x)………………


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