本文最后更新于:星期一, 四月 20日 2020, 6:01 晚上

映射和函数

定义:

> > 对于两个非空子集A、B,存在 某种法则使得A与B之间对应相关,A->B,a为A中元素成为原像,b为B中元素成为像

种类:

分类描述
满射集合B中的每一个元素在A中都有一个或一个以上的原像与之对应(一对一,多对一皆可)
单射对于不同的原像x1、x2其所对应的像y1、y2也不同(只能一对一,不能多对一)
1-1映射既是单射又是满射(一个对一个,每一个都不能漏掉)
逆映射设A->B是一个单射,如果B中的像在A中都有其相对应的原像,则这样的映射成为逆映射,记做f-1: B->A
复合映射设f: X->Y1, g: Y2->Z, Y1⊆Y2, 则有g◦f : X->Z , (g◦f)(x) = g[f(x)], x∈X, 注:g◦f与f◦g不一定相同,因其定义域不同

映射对比

函数:

设数集DR,映射f: D->R,称f为定义在D上的函数,记做y=f(x), xD

初等函数

种类描述
常数函数y=2
绝对值函数y=|x|
符号函数
取整函数y=[x]
反函数y=f(x)与x=f-1(y)图像一样,y=f(x)与y=f-1(x)图像关于y=x对称,单调函数具有反函数,反函数与直接函数单调性相同

函数的特性:

1. 函数的有界性

f: D->R, D⊆R, 若存在常数k1,使f(x) ≤ k1 ∀x∈D,则称k1为f(x)在D上的一个上界;同理f(x) ≥ k2 ∀x∈D,则称k2为f(x)在D上的一个下界

注:如果存在上界和下界,说明这个函数一定有界

对任一M>0, 都存在x∈D使|f(x)|>M,则f(x)在D上无界

2. 函数的单调性

若x1, x2∈D, x1 < x2⇒f(x1) < f(x2), 则称f(x)在D上单调递增

3. 函数的奇偶性

若x1, x2∈D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), 则称f(x)在D上单调递增

若f(-x)=f(x) ∀x∈D,称f(x)为偶函数 (关于y轴对称)
若f(-x)=-f(x) ∀x∈D,称f(x)为奇函数 (关于原点对称)

特性:偶 * 偶 = 偶,奇 * 偶 = 奇,奇 * 奇 = 偶

4. 函数的周期性

f(x+L) = f(x) L>0常数,∀x∈D,L为周期


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